Den gaussiske metoden, også kalt trinnvis metodeutelukkelse av ukjente variabler, er oppkalt etter den fremtredende tyske forskeren K.F. Gauss, som i sin levetid mottok den uoffisielle tittelen "Matematikakongen". Denne metoden ble imidlertid kjent lenge før den europeiske sivilisasjonens fødsel, allerede i det første århundre. BC. e. gamle kinesiske forskere brukte det i sine skrifter.
Den gaussiske metoden er en klassisk metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Den er ideell for raskt å løse avgrensede matriser.
Metoden i seg selv består av to trekk: direkte og omvendt. En rettkjøring er en sekvensiell avstøpning av SLAU til en trekantet form, det vil si nullverdier plassert under hoveddiagonalen. Den omvendte flyttingen innebærer sekvensiell oppdagelse av verdiene av variablene, som uttrykker hver variabel gjennom den forrige.
For å lære å bruke Gauss-metoden i praksis er enkel, er det nok å kjenne de grunnleggende reglene for multiplikasjon, tillegg og subtraksjon av tall.
For å demonstrere algoritmen for å løse lineære systemer med denne metoden, la oss vurdere et eksempel.
Så løse med Gauss-metoden:
x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6
Vi trenger å kvitte seg med variabelen x i den andre og tredje linjen. For å gjøre dette legger vi til den første, multiplisert med henholdsvis -2 og -4. Vi får:
x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18
Nå formere den andre linjen med 5 og legg den til den tredje:
x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18
Andre linje:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9
Første linje:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3
Ved å erstatte de oppnådde verdiene av variablene i de opprinnelige dataene, er vi overbevist om at løsningen er riktig.
Dette eksemplet kan løses av mange andre substitusjoner, men svaret skal være det samme.
Det skjer det på den ledende første linjenDet er elementer med for små verdier. Det er ikke skummelt, men det er ganske komplisert. Løsningen på dette problemet er Gauss-metoden med valget av hovedelementet ved kolonnen. Dens essens består av følgende: I første linje er det maksimale elementet funnet, kolonnen der den ligger er vekslet med 1-st-kolonnen, det vil si at vårt maksimale element blir det første elementet i hoveddiagonalen. Neste kommer standardberegningsprosessen. Om nødvendig kan prosedyren for bytte av kolonnene gjentas.
Det brukes til å løse kvadrat SLAU, når du finner den inverse matrisen og rangeringen av matrisen (antall ikke-nulrader).
Essensen av denne metoden er at det opprinnelige systemet forvandles til en enhetsmatrise ved hjelp av transformasjoner med ytterligere søk etter verdiene av variablene.
Dens algoritme er som følger:
1. Systemet av ligninger reduseres, som i Gauss-metoden, til en trekantet form.
2. Hver linje er delt med et bestemt tall slik at enheten på hoveddiagonalen er oppnådd.
3. Den siste linjen multipliseres med et bestemt tall og trekkes fra den nest siste med en slik beregning at vi får 0 på hoveddiagonalen.
4. Operasjonen 3 blir gjentatt suksessivt for alle rader til det til slutt dannes en matriksmatrise.
